モンティ・ホール問題|説明されても納得できない?これが分かればデータサイエンスのセンスあり

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データ解析

モンティ・ホール問題を聞いたことがあるでしょうか?

モンティ・ホール問題とは、司会者を務めるアメリカのゲームショー番組の中で行われたゲームのこと、またはその内容に関する論争に由来します。論理的な確率から示される結果を聞いても、理解しにくいことから、モンティ・ホールのジレンマとも言われています。

直感的に正しいと思える答えと、論理的に正しい答えが異なる問題として有名です。

このモンティ・ホール問題は、データサイエンティストに必須である、確率またはベイズ推定について理解しているかどうかを確認する絶好の問題です。

さて、あなたは確率について理解しているでしょうか?

モンティ・ホール問題

プレーヤーの前に閉じた3つの扉があります。


1つの扉には景品(車)が、2つの扉はハズレ(ヤギ)です。

プレーヤーは景品の扉を当てると新車がもらえる。

プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会者が残りの2つの扉のうち1つのハズレの扉を開いて見せてくれます。司会者はどの扉が景品か、ハズレかを知っています。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。

ゲームのルール

1. 3つの扉(A、B、C) に景品(車)、ハズレ(ヤギ)、ハズレ(ヤギ)がランダムに入っている
2. プレーヤーは扉を1つ選ぶ
3. 司会者は残りの2つの扉のうち、ハズレの扉を1つ開ける
4. その結果を見て、プレーヤーは扉を選び直してもよい

さて、あなたは扉を選び直しますか?

扉を選び直さない

3つの扉の中(A、B、C)に一つだけ商品があると言うことは、確率は1/3ですね。
仮に、最初にプレーヤーが選んだ扉がAだとしたら、景品が当たる確率は1/3です。
司会者はBとCどちらかのハズレの扉を開きます。
景品がある扉は1つだけなので、扉のBかCのなかにハズレがある確率は100%です。

Aが景品なら、BとCはハズレ
Bが景品なら、Cはハズレ
Cが景品なら、Bはハズレ
ですね。

つまり、司会者が開けたハズレの扉を除いた2つの扉のどちらかが景品です。最初の扉でも、残った扉でも、確率は1/2になりますね。
同じ確率なら、人(司会者)に影響された選択より、自分(プレーヤー)で決めた選択の方を優先してしまいますよね。

扉を選び直す

正解です。扉を選び直した方が、景品にあたる確率は高くなります。

司会者が開けたハズレの扉以外は、どの扉を選んでも1/2なのに、なぜ選び直した方がいいのでしょうか?直感的な理解とは違った結果になっていると思います。私は選び直さない方を選んでしまいました。

Aが景品で、プレーヤーがAを選んだ場合、など1つ1つの可能性を確認していってもいいですが、それも面倒ですし、説明しているサイトがあるので、そちらを確認して下さい。

ここでは、簡単な説明で、直感的理解をしてもらいます。

超簡単な解説

解説するために、モンティ・ホール問題のルールを少し変えてみましょう。

ゲームのルールを改変

1. 3つの扉(A、B、C) に景品(車)、ハズレ(ヤギ)、ハズレ(ヤギ)がランダムに入っている
2. プレーヤーは扉を1つ選ぶか、2つ選ぶかを選択する

どうですか?

1は同じですが、2ではプレーヤーは、

・選ぶ扉は1つ
・選ぶ扉は2つ

を選択することができます。
選ぶ扉は1つと2つ、どちらの方が景品が当たる可能性が高いでしょうか?

簡単ですね。当然選ぶ扉の数は2つの方が可能性が高いですね。モンティ・ホール問題もこれと同じことを選択しています。
もう少し解説していきます。

モンティ・ホール問題では、
A. 最初にプレーヤーが選んだ1つの扉が景品の確率は、1/3(プレーヤー選ぶ)
B. プレーヤーが選んでいない2つの扉が景品の確率は、2/3
C. プレーヤーが選んでいない1つの扉がハズレの確率は、100%(司会者が教えてくれる)

司会者がハズレの扉を選んだことで、扉を選び直すとBを選ぶことができるようになります。

つまり、最初に選んだ扉のままにするか、最初に選んだ扉以外の2つの扉にするかと同じことです。
なので、選び直した方が確率が2倍になります。(1/3から2/3になる)

少しくどい解説だったかも知れませんが、直感的に納得できたと思います。
確率やベイズ推定に興味のある方は以下の書籍をみると、さらに面白みが増すと思います。

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